Áp dụng bất đẳng thức : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) . Dấu "=" xảy ra khi a = b

Được : \(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}=4\)

Dấu "=" xảy ra khi  \(\hept{\begin{cases}x,y>0\\x^2+y^2=2xy\\x+y=1\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy Min  \(P=4\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Thank Bảo Ngọc!

Ai giúp em với ạ

1. Ta có: \(x^2-2xy-x+y+3=0\)

<=> \(x^2-2xy-2.x.\frac{1}{2}+2.y.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+y^2-y^2-\frac{1}{4}+3=0\)

<=> \(\left(x-y-\frac{1}{2}\right)^2-y^2=-\frac{11}{4}\)

<=> \(\left(x-2y-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)=-\frac{11}{4}\)

<=> \(\left(2x-4y-1\right)\left(2x-1\right)=-11\)

Th1: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=11\\2x-1=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=-3\end{cases}}\)

Th2: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=-11\\2x-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}}\)

Th3: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=1\\2x-1=-11\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-5\\y=-3\end{cases}}\)

Th4: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=-1\\2x-1=11\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=6\\y=3\end{cases}}\)

Kết luận:...

2. \(y^2+1\ge1>0;2x^2+x+1>0\) với mọi x; y 

=> x + 5 > 0 

=>  \(y^2+1=\frac{x+5}{2x^2+x+1}\ge1\)

<=> \(x+5\ge2x^2+x+1\)

<=> \(x^2\le2\)

Vì x nguyên => x = 0 ; x = 1; x = -1 

Với x = 0 ta có: \(y^2+1=5\Leftrightarrow y=\pm2\)

Với x = 1 ta có: \(y^2+1=\frac{3}{2}\)loại vì y nguyên 

Với x = -1 ta có: \(y^2+1=2\Leftrightarrow y=\pm1\)

Vậy Phương trình có 4 nghiệm:...

1) đặt \(\sqrt{x-1}=a\left(a\ge0\right);\sqrt{y-4}=b\left(b\ge0;\right)\)

M = \(\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+4}\); a² +1 \(\ge2a;b^2+4\ge4b\)=> M \(\le\frac{a}{2a}+\frac{b}{4b}=\frac{3}{4}\)

M đạt GTLN khi a=1, b=2 hay x=2; y= 8

2) <=> (x-y)² + (x+2)² =8 => (x+2)²\(\le8< =>\left|x+2\right|\le\sqrt{8}\approx2< =>-2\le x+2\le2< =>\)\(-4\le x\le0\)

x=-4 => (y+4)² =4 <=> y = -2;y = -6

x=-3 => (y+3)² = 7 (vô nghiệm); x=-1 => (y+1)² =7 (vô nghiệm)

x=0 => y² = 4 => y =2;  =-2

vậy có các nghiệm (x;y) = (-4;-2); (-4;-6); (0;-2); (0;2)

3) \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}\ge2\frac{x}{z}\left(a^2+b^2\ge2ab\right)\); tương tự với các số còn lại ta được điều phải chứng minh

3) sửa lại

áp dụng a²+b²+c² \(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)^2}{3}\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\)(vì \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz}{yzx}}=3\))

dấu '=' khi x=y=z

Từ giả thiết \(=>x+y=2xy\)

Áp dụng bđt Cô-si ta có : 

\(x^4+y^2\ge2\sqrt{x^4y^2}=2x^2y\)

\(y^4+x^2\ge2\sqrt{y^4x^2}=2y^2x\)

Khi đó : \(C\le\frac{1}{2}\left[\frac{1}{xy\left(x+y\right)}+\frac{1}{xy\left(x+y\right)}\right]=\frac{1}{2}.\frac{2}{xy\left(x+y\right)}=\frac{1}{xy\left(x+y\right)}\)

đến đây dễ rồi ha

oke làm tiếp 

Ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}< =>2\ge\frac{4}{x+y}< =>x+y\ge2\)

Mặt khác \(C\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)}=\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)}{2}.\left(x+y\right)}=\frac{2}{\left(x+y\right)^2}\le\frac{1}{2}\)

Vậy GTLN của C = 1/2 đạt được khi x=y=1

Anh ơi em nghĩ phải lả \(+\frac{1}{x+y+z}\)thì mới đúng ạ

sửa đề \(M=\frac{x^2+1}{x}+\frac{y^2+1}{y}+\frac{z^2+1}{z}+\frac{1}{x+y+z}\)

                                giải

Áp dụng bđt cô si cho 3 số dương \(x,y,z\)ta có:

\(\hept{\begin{cases}x^2+1\ge2\sqrt{x^2}=2x\\y^2+1\ge2\sqrt{y^2}=2y\\z^2+1\ge2\sqrt{z^2}=2z\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{x^2+1}{x}\ge2;\frac{y^2+1}{y}\ge2;\frac{z^2+1}{z}\ge2\)(1)

Áp dụng bđt bunhiacopxki ta có:

\(\left(x+y+z\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\le3^2\)

Mà \(x,y,z\)nguyên dương

\(\Rightarrow x+y+z\le3\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x+y+z}\ge\frac{1}{3}\left(2\right)\)

Lấy (1) + (2) ta được:

\(M\ge2+2+2+\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow M\ge\frac{19}{3}\)

Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)

Lê Tài Bảo Châu Đề bài ko sai.

\(M=\frac{x^2+1}{x}+\frac{y^2+1}{y}+\frac{z^2+1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\)

Theo ĐL Cool Kid đz luôn có \(\frac{1}{a+b+c}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow M\ge x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(\Rightarrow M\ge x+y+z+\frac{8}{9x}+\frac{8}{9y}+\frac{8}{9z}\)

Có BĐT :\(x+\frac{8}{9x}\ge\frac{x^2+33}{18}\Leftrightarrow.......\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(16-x\right)\ge0\left(true\right)\)

Tương tự cộng vế theo vế thì \(M\ge\frac{x^2+y^2+z^2+99}{18}=\frac{17}{3}\)

Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=1\)